2015届高三理科数学强化模拟试题三
命题人:温日明 审题人: 刘俊阳
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）
1．设集合 ， ，若 则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．复数 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3．下列命题中错误命题的个数是（ ）
（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；
（2）在回归直线 中， 增加1个单位时， 一定减少2个单位；
（3）若 为假命题，则 均为假命题；
（4）命题“若 ，则 ”的否命题为真命题
（5）“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件
A．2 B．3 C．4 D．5
4. 在平行四边形 中， ， 60°， 为 的中点．若 ，则 的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
5．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则（ ）
A． B． C． D．
6．若从区间 内随机取两个数，则这两个数之积不小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的最小正周期是 ，若其图像向右
平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 （ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
8．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是左图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
9．设椭圆 的两个焦点为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为( )
A． B． C． D．
10. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是 ，则满足条件的直线L共有 （ ）条
A.1 B.2 C.3 D.4
11．设椭圆方程为 ，右焦点 ,方程 的两实根分别为 ，则 必在（ ）
A．圆 内 B．圆 外
C．圆 上 D．圆 与圆 形成的圆环之间
12．已知函数 ，若函数 有且只有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设 ，则 ．
14．若 ，则 = ．
15．在 中，内角A、B、C的对边分别是 ，若 ，且 ，则 ________．
16．已知实数x，y满足 ，则 的最大值为 ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ．若 成等比数列，且 ， ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）设 ，求和 .
18．（本小题满分12分） 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
|
日销售量 |
1 |
1.5 |
2 |
|
天数 |
10 |
25 |
15 |
|
频率 |
0.2 |
a |
b |
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ∥ ， , ,顶点 在底面 内的射影恰为点 ．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)若直线 与直线 所成的角为 ,求平面 与
平面 所成角（锐角）的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛
物线 于点 ，当直线 的倾斜角是 时， 的中垂线交 轴于点 .
（1）求 的值；
（2）以 为直径的圆交 轴于点 ，记劣弧 的长度为 ，
当直线 绕 旋转时，求 的最大值.
21. （本小题满分12分）设函数 ， ，
（I）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（II）记 ，求证： ．
选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上相应位置做好标志．多答按所答的首题进行评分．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知 与⊙ 相切， 为切点，过点 的割线交圆于 两点，弦 ， 相交于点 ， 为 上一点，且 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求 的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系下，直线 经过点 ，倾斜角为 ，以原点为极点， 轴的正向为极轴，建立极坐标系，在此极坐标系下，曲线 ．
（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标系方程；
（2）设直线 与曲线 相交于 ( 也可能重合)，求 的最小值．
24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.
(Ⅰ)设函数 .证明： ；
(Ⅱ)若实数 满足 ,求证:
2015届高三理科数学强化模拟试题三参考答案
一．选择题CBCD ABCB DCDC
二．填空题13．30 14． 15． 16．
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
17．（12分）解：(1) ……2分
……4分
……5分, ……………6分
(2) , ……7分
……8分
……………12分
18．(12分)解：（Ⅰ） ， ，…2分， 依题意，随机选取一天，销售量为 吨的概率 ，设5天中该种商品有 天的销售量为1.5吨，则 …４分， ．…………5分
（Ⅱ） 的可能取值为 ，………………7分
则： ， ，
, ,
，
所以 的分布列为：
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
0.04 |
0.2 |
0.37 |
0.3 |
0.09 |
………10分
的数学期望 ．……12分
19．(12分)解：(Ⅰ)证明：连接 ,则 平面 ，∴ …2分
在等腰梯形 中，连接
∵ ， ， ∥ ∴ …４分
又 ∴ 平面 ∴ ………………6分
(Ⅱ)：由(Ⅰ)知 、 、 两两垂直，∵ ∥ ∴ ∴
在等腰梯形 中,连接 因 , ∥ ，
所以 ，建立如图空间直角坐标系，…8分,
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，由
得 ,可得平面 的一个法向量 ．…10分
又 为平面 的一个法向量．因此
所以平面 和平面 所成的角(锐角)的余弦值为 . …12分
20．解：（1） 当 的倾斜角为 时， 的方程为 …1分
设 得 …2分
得 中点为 …4分
中垂线为 , 代入得 , ………………5分
（2）设 的方程为 ，代入 得
, 中点为
令 , …9分
∵ 到 轴的距离 ,∴
当 时， 取最小值 ， 的最大值为 ,故 的最大值为 . …………12分
21. 解：（1） 在R上恒成立， 在R上恒成立，
在R上恒成立 ……2分
， ， ……4分
（2）方法一：
设 ， ，则
又
……6分
设 ，则 ，
令 ，得 ，则
令 ，得 ，则
， 在R上恒成立
设
……10分
， ……12分
方法二：
设 ，则 ，
令 ，得 ，则
令 ，得 ，则
22．（10分）解：（Ⅰ）∵ ,
∴ ∽ ,∴ ……………………………………3分
又∵ ,∴ , ∴ ,
∴ ∽ ， ∴ ， ∴
又∵ ，∴ ． ………………………………5分
（Ⅱ）∵ , ∴ ，∵ ∴
由（1）可知： ，解得 . …………………………7分
∴ ． ∵ 是⊙ 的切线，∴
∴ ，解得 ． ……………………………………10分
23.(1) ……5分
(2)将 的方程代入得
整理
……10分
24．（10分）证明:(Ⅰ)由 ，有
所以 ………………………5分
(Ⅱ) ,由柯西不等式得
(当且仅当 即 时取“ ”号)
整理得: ,即 ……………………10分
|
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