2015届高三理科数学强化模拟试题三
命题人:温日明 审题人: 刘俊阳
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一项是符合题目要求的)
1.设集合 , ,若 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.复数 的虚部是( )
A. B. C. D.
3.下列命题中错误命题的个数是( )
(1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化;
(2)在回归直线 中, 增加1个单位时, 一定减少2个单位;
(3)若 为假命题,则 均为假命题;
(4)命题“若 ,则 ”的否命题为真命题
(5)“函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件
A.2 B.3 C.4 D.5
4. 在平行四边形 中, , 60°, 为 的中点.若 ,则 的长为( )
A. B.4 C.5 D.6
5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则( )
A. B. C. D.
6.若从区间 内随机取两个数,则这两个数之积不小于 的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数 的最小正周期是 ,若其图像向右
平移 个单位后得到的函数为奇函数,则函数 ( )
A.关于点 对称 B.关于点 对称
C.关于直线 对称 D.关于直线 对称
8.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是左图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
9.设椭圆 的两个焦点为 ,过点 的直线与椭圆 交于点 ,若 ,且 ,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
10. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是 ,则满足条件的直线L共有 ( )条
A.1 B.2 C.3 D.4
11.设椭圆方程为 ,右焦点 ,方程 的两实根分别为 ,则 必在( )
A.圆 内 B.圆 外
C.圆 上 D.圆 与圆 形成的圆环之间
12.已知函数 ,若函数 有且只有两个零点,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设 ,则 .
14.若 ,则 = .
15.在 中,内角A、B、C的对边分别是 ,若 ,且 ,则 ________.
16.已知实数x,y满足 ,则 的最大值为 .
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知数列 为等差数列,首项 ,公差 .若 成等比数列,且 , , .
(1)求数列 的通项公式 ;
(2)设 ,求和 .
18.(本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下:
日销售量 |
1 |
1.5 |
2 |
天数 |
10 |
25 |
15 |
频率 |
0.2 |
a |
b |
若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.
(Ⅰ)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品某两天销售利润的和(单位:千元),求X的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱柱 中,底面 是等腰梯形, ∥ , , ,顶点 在底面 内的射影恰为点 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若直线 与直线 所成的角为 ,求平面 与
平面 所成角(锐角)的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 交抛
物线 于点 ,当直线 的倾斜角是 时, 的中垂线交 轴于点 .
(1)求 的值;
(2)以 为直径的圆交 轴于点 ,记劣弧 的长度为 ,
当直线 绕 旋转时,求 的最大值.
21. (本小题满分12分)设函数 , ,
(I)若 在 上单调递增,求 的取值范围;
(II)记 ,求证: .
选做题:请考生从第22、23、24题中任选一题做答,并按要求在答题卷上相应位置做好标志.多答按所答的首题进行评分.
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图所示,已知 与⊙ 相切, 为切点,过点 的割线交圆于 两点,弦 , 相交于点 , 为 上一点,且 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若 ,求 的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系下,直线 经过点 ,倾斜角为 ,以原点为极点, 轴的正向为极轴,建立极坐标系,在此极坐标系下,曲线 .
(1)写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标系方程;
(2)设直线 与曲线 相交于 ( 也可能重合),求 的最小值.
24.(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲.
(Ⅰ)设函数 .证明: ;
(Ⅱ)若实数 满足 ,求证:
2015届高三理科数学强化模拟试题三参考答案
一.选择题CBCD ABCB DCDC
二.填空题13.30 14. 15. 16.
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
17.(12分)解:(1) ……2分
……4分
……5分, ……………6分
(2) , ……7分
……8分
……………12分
18.(12分)解:(Ⅰ) , ,…2分, 依题意,随机选取一天,销售量为 吨的概率 ,设5天中该种商品有 天的销售量为1.5吨,则 …4分, .…………5分
(Ⅱ) 的可能取值为 ,………………7分
则: , ,
, ,
,
所以 的分布列为:
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
0.04 |
0.2 |
0.37 |
0.3 |
0.09 |
………10分
的数学期望 .……12分
19.(12分)解:(Ⅰ)证明:连接 ,则 平面 ,∴ …2分
在等腰梯形 中,连接
∵ , , ∥ ∴ …4分
又 ∴ 平面 ∴ ………………6分
(Ⅱ):由(Ⅰ)知 、 、 两两垂直,∵ ∥ ∴ ∴
在等腰梯形 中,连接 因 , ∥ ,
所以 ,建立如图空间直角坐标系,…8分,
则 , ,
设平面 的一个法向量 ,由
得 ,可得平面 的一个法向量 .…10分
又 为平面 的一个法向量.因此
所以平面 和平面 所成的角(锐角)的余弦值为 . …12分
20.解:(1) 当 的倾斜角为 时, 的方程为 …1分
设 得 …2分
得 中点为 …4分
中垂线为 , 代入得 , ………………5分
(2)设 的方程为 ,代入 得
, 中点为
令 , …9分
∵ 到 轴的距离 ,∴
当 时, 取最小值 , 的最大值为 ,故 的最大值为 . …………12分
21. 解:(1) 在R上恒成立, 在R上恒成立,
在R上恒成立 ……2分
, , ……4分
(2)方法一:
设 , ,则
又
……6分
设 ,则 ,
令 ,得 ,则
令 ,得 ,则
, 在R上恒成立
设
……10分
, ……12分
方法二:
设 ,则 ,
令 ,得 ,则
令 ,得 ,则
22.(10分)解:(Ⅰ)∵ ,
∴ ∽ ,∴ ……………………………………3分
又∵ ,∴ , ∴ ,
∴ ∽ , ∴ , ∴
又∵ ,∴ . ………………………………5分
(Ⅱ)∵ , ∴ ,∵ ∴
由(1)可知: ,解得 . …………………………7分
∴ . ∵ 是⊙ 的切线,∴
∴ ,解得 . ……………………………………10分
23.(1) ……5分
(2)将 的方程代入得
整理
……10分
24.(10分)证明:(Ⅰ)由 ,有
所以 ………………………5分
(Ⅱ) ,由柯西不等式得
(当且仅当 即 时取“ ”号)
整理得: ,即 ……………………10分
|